PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG NHỎ NHẤT VÀ ỨNG DỤNG VÀO BÀI TOÁN DỰ ĐOÁN

Ngày đăng: 12/12/2024

Bình phương nhỏ nhất (least squares) là một phương pháp thống kê được sử dụng để tìm ra một đường cong (hàm số) gần nhất để mô hình hoá dữ liệu. Phương pháp này được sử dụng rộng rãi trong các lĩnh vực như thống kê, toán học, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

1. Giới thiệu

1.1. Bình phương nhỏ nhất, phương pháp (least squares) là gì?

Phương pháp bình phương nhỏ nhất là một khái niệm rất quan trọng trong lĩnh vực kinh tế lượng học, và nó được sử dụng để ước lượng các tham số trong mô hình hồi quy. Ý tưởng chung của phương pháp này là tìm cách tối thiểu hóa tổng bình phương của các sai số giữa các điểm dữ liệu thu thập được và đường hồi quy dự đoán. Trong quá trình xây dựng mô hình hồi quy, chúng ta thu thập dữ liệu về các biến độc lập và biến phụ thuộc. Mục tiêu là tìm một đường hồi quy (thường là đường thẳng) tốt nhất để dự đoán biến phụ thuộc dựa trên các biến độc lập. Tuy nhiên, không có đường thẳng nào có thể đi qua tất cả các điểm dữ liệu, vì vậy chúng ta cần tìm một cách xấp xỉ tốt nhất. Phương pháp bình phương nhỏ nhất giúp chúng ta tìm cách xấp xỉ đường hồi quy sao cho tổng bình phương của các sai số là nhỏ nhất. Sai số được tính bằng cách đo khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa các điểm dữ liệu và đường hồi quy. Chúng ta tính toán sai số cho từng điểm dữ liệu, sau đó lấy tổng bình phương của các sai số này. Ứng dụng phổ biến của phương pháp bình phương nhỏ nhất là trong việc tìm hiểu và xác định mối quan hệ giữa các biến độc lập và phụ thuộc trong mô hình hồi quy tuyến tính.

1.2. Bình phương nhỏ nhất, phương pháp dùng để làm gì?

Phương pháp bình phương nhỏ nhất được sử dụng để ước lượng tham số trong mô hình hồi quy và tìm ra một đường hồi quy gần nhất với dữ liệu thực tế. Cụ thể, phương pháp này được áp dụng để:

- Xây dựng mô hình dự đoán: Bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất, chúng ta có thể xây dựng một mô hình hồi quy để dự đoán giá trị của biến phụ thuộc dựa trên các biến độc lập.

- Phân tích tương quan: Phương pháp bình phương nhỏ nhất cung cấp cho chúng ta các tham số ước lượng trong mô hình hồi quy, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về mối tương quan giữa các biến độc lập và biến phụ thuộc.

- Kiểm định giả thuyết: Phương pháp bình phương nhỏ nhất cũng có thể được sử dụng để kiểm định giả thuyết trong mô hình hồi quy.

- Phân tích độ phù hợp của mô hình: Bằng cách sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất, chúng ta có thể đánh giá độ phù hợp của mô hình hồi quy với dữ liệu.

1.3. Vai trò về bình phương nhỏ nhất, phương pháp

Phương pháp bình phương nhỏ nhất (Least Squares Method) có vai trò quan trọng trong các lĩnh vực thống kê, toán học và khoa học dữ liệu. Cụ thể:

- Mô hình hóa mối quan hệ: Phương pháp bình phương nhỏ nhất được sử dụng để xác định một mô hình toán học (thường là một hàm số) để mô tả mối quan hệ giữa các biến.

- Phương pháp bình phương nhỏ nhất cũng được sử dụng để tìm đường tối thiểu (best-fit line) hoặc đường cong tối thiểu trong việc gần nhất các điểm dữ liệu.

- Phương pháp bình phương nhỏ nhất giúp giảm thiểu sai số giữa các giá trị dữ liệu quan sát và giá trị dự đoán.

- Phương pháp bình phương nhỏ nhất cũng được sử dụng để đánh giá độ tin cậy của các ước lượng thống kê.

- Phương pháp bình phương nhỏ nhất có khả năng xử lý nhiễu hoặc các giá trị bất thường trong dữ liệu.

2. Bài toán: Xét câu chuyện khởi nghiệp sau:

Nhóm 03 bạn Lan – Linh – Loan trồng một loại cây giống chất lượng cao cung cấp xuất khẩu. Trong 5 lần đo chiều dài 1 cây mẫu, bạn Lan có số liệu đo như sau: